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최근 영화감독 '크리스토퍼 놀란'의 인터스텔라는 놀라운 상상력과 놀라운 영상, 그리고 과학적으로도 충분히 고민해볼 만한 논란거리를 던져주며 흥행몰이 중입니다. 저도 놀라면서 봤지만 놀란은 정말 언제나 놀랍네요. 말장난은 이정도까지만 하고 오늘의 주제를 소개하겠습니다. 오늘은 인터스텔라에 나왔던 '일어날 일은 일어난다'는 머피의 법칙의 통계적인 의미를 생각해보고, 이와 관련된 통계학자 R.A 피셔의 밀크티 논란 일화를 소개해보겠습니다.

 

 

확률(Probability)과 가능성(Likelihood)
일어날 법한 일이 일어난다

 

 

통계학에서 바라본 머피의 법칙


 

영화 속에서 친구들에게 이름 때문에 놀림을 받은 딸 머피는 왜 자신의 이름을 '일은 항상 안 좋은 쪽으로 발생한다'는 의미의 머피의 법칙에서 따왔냐며 아버지 쿠퍼에게 항의합니다. 그러자 쿠퍼는 머피를 달래며 '머피의 법칙의 본래 뜻은 '안 좋은 일이 일어난다'는 것이 아니라 '일어날 일은 일어난다'는 뜻이라고 말해줍니다.

 

머피와 쿠퍼 (출처-인터스텔라)

 

그리고 이런 사회통념과는 조금 다른 머피의 법칙에 대한 쿠퍼의 해석인 '일어날 일은 일어난다'는 영화 전체에 있어 중요한 복선과도 같은 역할을 합니다. 영화 후반부 쿠퍼는 5차원의 블랙홀 속에 갇힙니다. 그러나 그 속에서 쿠퍼가 시공간을 넘나드는 '묵찌빠 신공'으로 머피에게 중력방정식의 특이변수를 알려줘 나중에 쿠퍼와 머피가 재회하는 기적과도 같은 일이 일어납니다. 그러나 이 기적같은 일도 사실은 결국 쿠퍼가 말하는 '머피의 법칙' 즉, '일어날 일'이었기에 일어났다는 것입니다.

하지만, '일어날 일은 일어난다'는 머피의 법칙은 통계학의 관점에서 생각해보면 '일어날 법한 일이 일어난다.'라는 말로 바꿔 써야 할 것입니다. 즉, 통계학에서는 '일어날 법한 일(일어날 확률이 있는, 혹은 높은 일)이 더 많이, 빈번히 일어난다'고 보는 것입니다. 따라서, 안 좋은 일이 일어나 일이 꼬인다'는 의미의 머피의 법칙도 통계학적인 관점에서 봤을 때는 단지 안 좋은 일이 일어날 '확률이 높았기' 때문에 안 좋은 일이 일어났다는 것입니다. 그런데 이와 같은 '일어날 확률이 높은 일이 더 많이 일어날 것이다'라는 생각은 사실 너무 단순하면서도 당연한 소리 같아 보입니다. 하지만 이 단순 명료한 직관은 통계학에서 아주 중요한 역할을 하는데요, 특히나 통계적인 추정 분야에서 아주 중요한 통찰을 줍니다. 그렇다면 그 이유는 무엇일까요?

 

상자 안에 허니버터칩이 더 많이 들어있을 가능성은?


 

다음의 예시를 통해 '일어날 법한 일이 일어난다'는 단순한 직관이 통계적인 추론에서 어떠한 크나큰 통찰을 가져다주는지 알아보겠습니다.

여기에 요즘 구하기 힘들다는 허니버터칩 12봉지와 건빵 3봉지가 들어 있는 과자상자가 있습니다. 밑의 그림처럼 과자 상자 안에 허니버터칩이 더 많이 들어있기 때문에 만약 눈을 가린 채 과자를 꺼낸다면 그 과자가 허니버터칩일 확률이 더 높을 것입니다. 그렇다면 우리는 허니버터칩을 꺼낼 확률이 높기 때문에 '허니버터칩을 꺼내는 일'이 일어나는 경우가 많을 것이라고 기대할 수 있습니다.

 

통계청블로그 임현공 기자

 

 

이번에는 반대로 밑에 그림처럼 상자 안에 허니버터칩과 건빵이 들어있다는 것은 알지만 각각 몇 봉지 씩 들어 있는지 알 수 없는 경우를 생각해 봅시다. 그리고 이번에도 마찬가지로 눈을 가리고 상자 안에서 과자를 꺼냅니다. 그런데 과자 4봉지를 꺼내고 보니, 그중 허니버터칩이 3봉지이고 건빵이 1봉지였습니다. 이때 우리는 꺼낸 4봉지 중 허니버터칩이 더 많은 이유가 과자상자 안에 허니버터칩이 더 많기 때문이라고 생각할 수 있습니다. 왜냐하면 만약 상자 안에 건빵이 더 많았더라면 4봉지를 꺼냈을 때 허니버터칩보다는 건빵이 더 많이 뽑힐 것으로 예상되기 때문입니다. 따라서, 우리는 우리가 꺼낸 4봉지 중 허니버터칩이 건빵보다 더 많았기 때문에 상자 안에 허니버터칩이 더 많을 가능성이 높다고 생각할 수 있을 것입니다.

 

통계청블로그 임현공 기자

 

즉, 우리는 '일어날법한 일이 더 많이 일어날 것이다'라는 직관 덕분에 관찰된 결과로부터 가장 가능성이 높은 모습(모수)을 통계적으로 추론할 수 있는 것입니다. 그렇다면 다음으로 이런 직관이 구체적으로 통계적인 추론에서 어떻게 활용될 수 있는지를 추론통계학의 대가이자 수리통계학의 발전에 엄청난 기여를 한 R.A 피셔의 재미난 일화를 통해 소개해보도록 하겠습니다. 

 

 

R.A 피셔의 실험계획과 가설검정
영국의 여인이 절대미각을 가졌을 가능성은?

 

지금까지 맛있는 허니버터칩으로 꽤나 머리 아픈 얘기를 해왔는데요, 그렇다면 이번에는 화제를 바꿔서 머리를 식힐 겸 다른 질문으로 시작해보겠습니다. 여러분들은 탕수육을 드실 때 소스를 부어드시나요? 아니면 찍어드시나요?  '부먹vs찍먹'은 정말 '엄마vs아빠'만큼이나 많은 사람들 사이에서 선호가 갈리는 영원히 풀리지 않을 것 같은 수 많은 논란 중 하나인데요, 이와 비슷한 논란이 영국에도 있다고 합니다.

 

 

밀크티 논란 '우유 먼저 넣기 vs 홍차 먼저 넣기'


 

밀크티를 즐기는 영국에서는 밀크티에 우유 먼저 넣는 것이 더 맛있는지, 홍차를 먼저 넣는 것이 더 맛있는지 논란이 있다고 합니다. 그런데 사실 탕수육은 소스를 부어먹느냐 찍어먹느냐에 따라 튀김 옷의 눅눅한 정도의 차이로 인해 맛이 다를 수도 있지만, 밀크티의 경우는 우유를 먼저 넣느냐 홍차를 먼저 넣느냐에 따라 맛에 큰 차이가 날 것 같지는 않아 보입니다. 그리고 이런 밀크티 논란에 대한 과학계의 입장도 우유는 차갑고 홍차는 따뜻하기 때문에 우유와 홍차를 넣는 순서에 따라 밀크티의 분자 구조에 미묘한 차이가 발생할 수 있어도 이를 사람의 미각으로 구별할 수는 없다는 것이라고 합니다.

 

대장금이 출동하면 어떻게될까? (출처-MBC 대장금)

그런데 만약 대장금처럼 미각이 뛰어난 사람이 있다면 어떻게 되었을까요? 밀크티의 분자구조적인 차이까지 느낄 수 있는 절대미각으로 밀크티의 미묘한 맛의 차이를 구별할 수 있지 않았을까요? 그런데 실제로 과거에 영국에서 자신이 대장금과 같은 절대미각을 가졌다고 주장하는 여인이 있었다고 합니다.

 

The Lady tasting tea(차를 시음하는 여인)


 

1920년대에 영국에 있는 케임브리지 대학에서 연구원들과 그들의 부인들이 한 곳에 모여 밀크티를 마시는 자리가 있었다고 합니다. 그런데 그 자리에 있던 한 여인이 자신은 밀크티에 우유가 먼저 들어갔는지 홍차가 먼저 들어갔는지 구별할 수 있다고 주장하기 시작했습니다. 하지만 과학적인 사고를 신봉하는 연구원들이 모인 자리였기에 다들 그 여인의 주장이 말도 안 된다고 생각하며 여인의 주장을 무시하는 분위기였는데요, 그런 사람들 중 혼자만 다른 반응을 보이는 신사가 있었습니다. 그 신사가 바로 R.A 피셔였는데요, 피셔는 아무런 근거 없이 여인의 주장을 거짓이라고 판단하기보다는 실험을 통해 여인의 주장을 검정해보자고 제안을 합니다. 그리고 그가 고안해낸 검정절차를 간략하게 정리하면 다음과 같습니다.

 

1. 가설을 세운다.

가설1: 여인의 주장은 거짓이다 = 여인이 밀크티에 우유와 홍차가 들어간 순서를 맞출 확률은 1/2이다.

가설2: 여인의 주장은 참이다 = 여인이 밀크티에 우유와 홍차가 들어간 순서를 맞출 확률은 1/2보다 크다.

 

2. 실험을 한다.

피셔는 여인이 볼 수 없는 곳에서 만든 총 8잔의 밀크티(우유를 먼저 넣은 밀크티 4잔과 홍차를 먼저 넣은 밀크티 4잔)을 준비해서 랜덤한 순서로 여인에게 가져다줍니다. 그리고 건네받은 밀크티를 맛본 여인은 밀크티에 우유와 홍차 중 무엇이 먼저 들어갔는지 자신의 생각을 말합니다. 그리고 여인이 맞춘 횟수를 기록한다.

 

3. 맞춘 횟수를 바탕으로 '가설1'과 '가설2' 중에 하나를 결정한다.

8번 중 거의 모두 맞춘다면 여인의 주장은 참으로 받아들이고, 그렇지 않다면 여인의 주장은 거짓으로 받아들인다.

 

위와 같이 가설을 세우고, 실험이나 관측을 통해 나온 결과를 바탕으로 가설의 기각 여부를 결정하는 과정을 가설검정이라고 합니다. 그런데 이 가설검정의 구조를 잘 살펴보면 이 가설 검정에도 앞에서 얘기하던 '일어날 법한 일이 일어난다'는 직관이 활용되고 있음을 알 수 있습니다.

 

여인이 밀크티를 구별할 확률이 높다면 맞힌 횟수가 많을 것이다.

반대로, 맞힌 횟수가 많다면 맞힐 확률이 높을 가능성이 클 것이다.

 

즉, 피셔는 8번의 밀크티 시음에서 여인이 맞추는 정답 횟수를 바탕으로 여인이 밀크티를 구별해내는 확률이 어느 정도인지를 추론하고자 했던 것입니다. 이는 과자 4봉지를 뽑았을 때 나오는 허니버터칩의 봉지 수를 통해 과자 상자 안의 허니버터칩의 개수를 추론하는 것과 같은 맥락입니다.

 

 

일반인들은 절대미각을 가지고 있지 않기 때문에 밀크티를 구별해낼 확률은 결국 '찍어서 맞추는' 확률인 1/2이 될 것입니다. 따라서 일반인이 8번의 도전을 하면 그중 절반인 4번 정도를 맞출 것입니다. 반대로 절대미각이 있어 실제로 밀크티의 맛이 차이를 느낄 수 있다면, 밀크티를 구별해낼 확률은 1/2보다 훨씬 큰 1에 가까운 확률이 될 것입니다. 따라서 절대미각을 가진 사람이 8번의 도전을 하면 거의 8번 모두를 맞출 것입니다.

 

통계청블로그 임현공 기자

따라서, 여인이 8번의 시음 중 정답을 맞힌 횟수가 4에 가까운 3,4,5번 정도밖에 되지 않는다면, 여인이 밀크티를 구별해낼 확률은 1/2 정도 밖에 되지 않을 가능성이 높고 밀크티를 구별할 수 있다는 여인의 주장은 거짓이라고 결론 내릴 수 있을 것입니다. 반면에, 여인이 8번의 시음 중 정답을 맞힌 횟수가 8에 가까운 7, 8번이나 된다면, 여인이 밀크티를 구별해낼 확률은 1/2보다 훨씬 클 가능성이 높고, 밀크티를 구별할 수 있다는 여인의 주장은 참이라고 결론 내릴 수 있을 것입니다.

 

그리고 전해오는 이야기에 의하면 그렇게 여인의 8번의 밀크티 시음이 끝난 후, 결과를 본 피셔는 아주 놀라고 맙니다. 왜냐하면 놀란의 영화보다도 더 놀랍게도 그 여인은 8번 모두 정답을 맞혔기 때문인데요, 따라서 가설검정의 결과 '통계적으로' 밀크티를 구별할 수 있다는 여인의 주장이 참이라는 것을 의미합니다. 즉, 그 여인은 정말 영국의 대장금이었던 것입니다!

 

■ 마치며 

 

사실 머피의 법칙의 실제 주인공인 머피 대위는 모든 일에서 사소한 부주의로 인해 안 좋은 결과가 일어날 수 있음을 경고하고자 머피의 법칙을 만들었다고 합니다. 즉, 안 좋은 일이 일어날 원인을 사전에 줄이자는 취지였다는 것인데요, 그렇다면 우리는 이와 같은 머피 대위의 뜻에 따라 안 좋은 일이 일어난 뒤 머피의 법칙을 탓하기보다는좋은 일이 일어나지 않도록 방지하고 반대로 좋은 일이 일어날 확률을 높일 수도 있지 않을까요? 그리하여 '일어날 법한 일이 일어난다'는 통계학의 직관처럼 좋은 일이 일어날 확률을 높여 좋은 일이 연달아 일어나길 기대해 볼 수도 있지 않을까요?

 

영화 속에서 쿠퍼는 '일어날 일이 일어난다.'라고 말하면서도 머피와의 재회를 위해 끝까지 포기하지 않는 모습을 보여줍니다. 그리고 5차원 속에서 기적같이 살아나오면서 자신을 도와주는 '기적의 손길'이 바로 '우리'였다는 의미심장한 말을 하는데요, 어쩌면 이와 같은 포기하지 않는 쿠퍼의 노력이 스스로를 '기적'으로 이끄는 확률을 높여줬던 것일지도 모르겠습니다.

 

※ 본 글은 '통계청블로그기자단'의 기사로 통계청의 공식입장과 관계가 없습니다.


 

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사람은 태어나는 그 순간 '생일'을 가지고 태어 납니다. 자신이 태어난 것을 축하 받고 또 낳고 길러 주신 부모님의 은혜를 되새겨 보는 인생에 있어서 중요하고 뜻 깊은 날인 생일은 모든사람에게 1년에 한 번 찾아 오게 되지요.
 
많은 사람들이 생일 하면 떠오르는 것이 생일 케이크, 생일 잔치, 생일 선물등이 있습니다.
 
그런데 자신과 가까운 사람이 생일이 가깝다면 많은 사람들이 또 다른 고민이 생기기도 합니다. 생일 당사자에게 어떠한 생일 선물을 줘야 할까? 사람마다 모습이 모두 다르듯 받고 싶은 생일 선물이 모두 다른것은 당연한 것이겠지요.
 
그래서 우리 통계타파팀은 직접 거리로 나가 여론조사를  하여 직접 사람들에게 인터뷰를 요청해서 받고 싶은 생일 선물이 무엇인지에 대해 알아보기로 하였답니다.
 
 
 
여러분들도 궁금 하지 않으신가요?
 
 
 
>>명동에서 서울시민들에게 직접 물어 보다!
 
 
 
서울에서 가장 유동인구가 많은 지역 중 하나인 명동거리에서 지난 여름,  '남녀 탐구 시리즈 1편 - 여름에 대처하는 우리들의 자세'에 이어 생일선물에 대해 무엇을 받고 싶은지에 대해 직접 설문조사를 해봤습니다. 이번에는 지난 1편에서보다 조금 더 발전된 형태로 남자와 여자의 성별 구분에 이어 연령대별 특성도 알고 싶어서 스티커 색상으로 구분하여 설문조사를 하였습니다.
 
그 때의 풍경을 일단 사진으로나마 함께 볼까요?
 
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>>남자들이 가장 원하는 선물은 '여자친구'
 
 
 
외로운 늑대가 많은 것일까요? 남자들이 가장 원하는 생일선물은 '여자친구'였답니다.
 
일단 남자들에게 선택할 수 있던 선물은 다음과 같았습니다.
 
 
 
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이를 연령대별로 구분한 결과는 다음과 같습니다.
 
 
 

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연령별 남자들이 원하는 생일선물 설문조사 결과 빈도 (남성 184명 대상)
 
 
 
붉은 막대의 20대들은 닌텐도 DS도 요구하고 여자친구도 요구하고 아이폰도 요구한다는 것을 알 수 있습니다. 반면에 10대는 여자친구에 많은 지지 하는 반면 30대들은 돈을 요구하는군요. 단순히 이렇게 빈도를 통해서는 각 연령대별 니즈(Needs)를 정확하게 파악 할 수 없기에 각 연령대별 비율로 다시 나타내면 다음과 같습니다.
 
 
 

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연령별 남자들이 원하는 생일선물 설문조사 결과 비율 (남성 184명 대상)
 
 
 
원하는 선물을 각 연령대별 사람수로 나눈 비율의 개념으로 원하는 선물을 살펴보니까 연령대별 특징이 확실해진 것 같습니다. 일단 10대는 '여자친구'로 응답하신 분이 과반수가 넘는 58.5%인 반면 30대에서 여자친구를 선택하신분은 13.2%에 불과했습니다.
 
20대 남자는 10단 도시락을 제외한 모든 것에 관심을 갖고 받고 싶어하는 반면 30대는 돈(39.5%), 자동차키(26.3%)등을 생일 선물로 원하는 등 흥미로운 결과가 나타났습니다.
 
 
 
어째튼 남자분들에게 가장 좋은 생일선물은 '좋은 여자 소개 시켜주는 것'이 답안이 될 것 같습니다.
 
 
 
>>그렇다면 여자들이 원하는 선물은?
 
 
 
남자와 달리 여자분들은 어떤 생일 선물을 받고 싶을까요? 역시나 명동거리에서 여자분들에게 직접 설문조사를 실시했습니다.
 
일단 설문조사 보기 내용은 다음과 같습니다.
 
 

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자, 여러분이 여자라면 어떤 것을 선택하시겠나요?
 
그 결과를 공개합니다.
 
 
 

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연령별 여자들이 원하는 생일선물 설문조사 결과 빈도 (여성 129명 대상)
 
 
 
여성들이 요구하는 선물은 대체적으로 명품백이 많은 것 같이 보이네요. 그렇다면 연령별 비율로 살펴 보겠습니다.
 
 
 

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연령별 여자들이 원하는 생일선물 설문조사 결과 비율  (여성 129명 대상)
 
 
 
위의 연령별 여자들이 원하는 생일선물의 비율을 살펴보니까 전 연령대에서 대체적으로 '명품백'을 요구하는 비율이 높다는 것을 알 수 있습니다. 하나 흥미로운 결과는 상품권도 전 연령대에서 인기가 많은 반면 액세서리는 30대 이상의 9.1%가 원하고 이벤트는 10대의 30.4%가 원한다는 것을 알 수 있습니다.
 
 
 
하지만 기타 응답으로 남자친구를 원하는데 표기할 곳이 없어서 그냥 말로만 하신분도 있었답니다.
 
 
 
>>직접 사람들에게 물어본 결과는?
 
 
 
이번에는 설문조사를 통해서가 아닌 사람들에게 직접 물어보고 그 이유도 함께 물었습니다. 이런 인터뷰를 영상으로 간단히 편집하였는데 한번 감상해 보실까요?
 
 

사람의 모습이 각기 다르듯 원하는 생일선물도 모두 다양하다는 것을 알 수 있습니다.
 
자신과 가까이 있는 사람의 생일, 이젠 두렵지 않게 준비 하실 수 있겠지요?


 
 
 
>>자신과 생일이 같은 사람끼리 만날 확률은?
 
 
 
일반적으로 생일이 같은 사람끼리 만날 확률은 얼마나 될까요? 1년이 365일이니 단순하게 계산하면 1/365이 되겠지요. 하지만 자신이 속한 단체에서 자신과 생일이 같은 사람을 만나면 무척 반갑기도 하고 인연이 아닌가 하는 생각이 들정도로 같은 생일을 만나는 것이 쉽지 않아 보이지만 생각 외로 생일이 같은 사람을 만나기가 어려운 일은 아니랍니다.
 
저 역시도 과거에 100명 정도 속한 집단에서 저와 같은 생일인 사람이 무려 저 포함 3명이나 만난적이 있었습니다.
 
당시 저는 그 집단에 속한 사람 중 나와 사주팔자가 비슷한 사람 3명이 있지 않을까 하는 생각도 했었습니다.
 
 
 
하지만 이것은 통계의 한 부분인 확률을 이해하면 생각 외로 쉽게 계산이 되어지고 같은 생일을 만나는 게 대단히 작은 확률이 아닌 생각보다 흔하게 만날 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
 
 
 
한 예로 어떠한 집단에 60명이 있다고 가정해봅시다. 이런 집단에서 생일이 같은 두 사람이 있을 확률을 구하기 위해선 각각 다른 사람과 생일이 다른 확률을 계산해서 모두 합쳐야 합니다.

예를 들어 A의 생일이 10월 10일이고 또 다른 사람인 B의 생일은 365일에서 10월 10일을 뺀 364일 중 하루여야 합니다. 그러므로 두 사람의 생일이 다를 확률은 364/365입니다. 또 다른 사람  B뿐만 아니라 C의 생일 역시 B와 생일이 같아선 안되므로 생일이 다를 확률은 363/365입니다. 같은 방법으로 나머지 번호도 모두 따지게 되고 마지막 30번째 사람 역시 모든 사람과 생일이 겹치면 안되니까 306/365 입니다.


 
이를 모두 곱해 주면 모두 생일이 다를 확률이 나오겠지요.(확률의 곱셈법칙 적용)
 
 
 

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위의 0.59%는 60명 모두 생일이 다를 확률입니다. 달리 말하면 전체 확률인 100%에서 위의 확률을 빼주면 생일이 같은 한쌍이 나올 확률이겠지요. 즉 60명 중 생일이 같은 사람이 나올 확률이 99.41%라는 이야기입니다. 당연한 이야기겠지만 사람이 많은 집단일수록 자신과 생일이 같은 사람이 나올 확률은 더욱 커지겠지요?
 
 
 
혹시 이 기사를 읽으신분 중에 직관적으로 25%정도 되지 않을까 생각 하신분이 있지 않을까 싶네요. 하지만 확률이라는것은 직관만 가지고 계산해서는 오차가 무척 커진다는 것을 알 수 있습니다.
 
이러한 집단의 인원수 대비 생일이 같을 확률을 그래프로 그리면 다음과 같습니다.
 
 
 

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인원수 대비 생일 같은 확률 그래프
 
 
 
그러니까 어떤 집단에서 자신과 생일 같은 사람을 만났다고 신기한 것이 아니라 확률적으로 당연한 이야기가 된다는 것을 알 수 있습니다. 또 한가지 재밌는 사실은 특정한 달에 생일이 몰려 있는데 이에 대해서는 조금 복잡한 계산이 있기에 생략해 보겠습니다. 스스로 한 번 왜 그럴까 생각해 보시기 바랍니다. :-)
 
 
 

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※ 본 글은 '통계청 블로그 기자단'의 기사로 통계청의 공식입장과 관계가 없습니다.
 

통계청 블로그 기자단 '통계타파'팀의 팀 취재 기사
 
 
 
 



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이런 얘기 많이들 합니다.

'거기 땅값 오를 줄 알았으면 진작 사놓는 건데...'

'그 아파트 값 오를 줄 알았으면 안 파는 건데...'

예측 불가능한 미래를 예측할 수 있다면,

우리 모두 진작에 부자가 됐겠죠?

하지만 그 예측이 전혀 불가능한 것만은 아니라네요.

로또 당첨, 이것도 확률에 기반한 선택이니까요.

우리 모두 통계를 보는 마인드를 키워보자구요.

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